/LMAR=50/TMAR=50/RMAR=4095/BMAR=1/PMAR=0/XLINE=0/FONT#0=NGR13/USETI=0000041*TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX*

␈β↓Y␈↓ "␈εα959
␈βα(␈↓ ↓H␈ε≥Sample␈α
1.
␈βαm␈↓ π|␈εβ∩␈↓ λh␈εβ∩
␈βαp␈↓ εa␈ε∧(␈↓ ε{␈ε∧)
␈βαr␈↓ εj␈ε
n
␈βαw␈↓ α"␈ε∞10.␈α
Corollary.␈↓ ε∪␈εβ[␈↓ εB␈εβ(␈↓ π∧␈εβ:␈↓ π4␈εβ]␈↓ πS␈εβ=␈α
[␈↓ λ ␈εβ]␈↓ λ?␈εβ=␈α
[␈↓ 	␈εβ:␈↓ 	<␈εβ]
␈βαy␈↓ ∧K␈ε	For␈αlarge␈αn,␈↓ ε∨␈ε	k␈↓ εM␈ε	k␈↓ π⊃␈ε	k␈↓ π⎇␈ε	k␈↓ λi␈ε	k␈↓ 	→␈ε	k␈↓ 	Q␈ε	.
␈ββ¬␈↓ ε3␈ε∧0␈↓ π%␈ε∧0␈↓ λ⊃␈ε∧0␈↓ λ⎇␈ε∧0␈↓ 	-␈ε∧0
␈ββπ␈↓ π@␈ε
i␈↓ λ,␈ε
i␈↓ 	H␈ε
i
␈ββ-␈↓ λs␈ε
s
␈ββ4␈↓ ∧R␈εβ∩␈↓ ¬'␈εn␈↓ ¬h␈εβ∩␈↓ π1␈εn␈↓ λ/␈εβ∩␈↓ λ↑␈εβ∩
␈ββ9␈↓ ¬∃␈ε
p␈↓ π∨␈ε
p
␈ββ>␈↓ α"␈ε∞Proof:␈εβ␈α⊗For␈↓ ∧@␈εβ,␈↓ ∧v␈εβ(␈↓ ¬6␈εβ)␈α
=␈↓ π␈εβ(␈↓ π@␈εβ)␈αsince␈↓ λS␈εβ/␈↓ 	∞␈εβis␈αpurely␈αinseparable
␈ββ@␈↓ βw␈ε	n␈↓ ∧1␈ε	r␈↓ ∧S␈ε	k␈↓ ¬↓␈ε	k␈↓ ¬i␈ε	k␈↓ ε]␈ε	k␈↓ π␈ε	k␈↓ λ0␈ε	k␈↓ λ←␈ε	k
␈ββD␈↓ ∧⊗␈ε↔∃␈↓ ε∪␈ε↔λ
␈ββI␈↓ εI␈εs
␈ββK␈↓ ∧g␈ε∧0␈↓ ¬⎇␈ε∧0␈↓ εq␈ε∧0␈↓ λD␈ε∧0
␈ββM␈↓ ε8␈ε∧∩
␈ββN␈↓ λs␈ε∧0
␈ββV␈↓ ε9␈ε
k
␈ββb␈↓ εI␈εε0
␈ββy␈↓ αe␈εn
␈ββ}␈↓ αS␈ε
p
␈β∧β␈↓ ↓H␈εβand␈↓ α4␈εβ(␈↓ αt␈εβ)/␈↓ β;␈εβis␈α
separable␈α
[␈↓ ¬!␈εβ,␈α
Theorem␈α
21,␈α
Part␈α
(1),␈α
p.␈α
197].␈α
Thus
␈β∧¬␈↓ α⊃␈ε	k␈↓ α?␈ε	k␈↓ β␈ε	k
␈β∧	␈↓ ¬∂␈ε∩3
␈β∧⊂␈↓ α%␈ε∧0␈↓ β∨␈ε∧0
␈β∧H␈↓ ↓H␈ε≥Sample␈α
2.
␈β¬W␈↓ ↓l␈εβgr␈↓ αF␈εβ=␈↓ α⎇␈εβ(␈↓ β$␈εβ,␈↓ βD␈εβ*␈↓ βJ␈εβ)␈↓ ∧←␈εβ,␈↓ ∧␈␈εβ*␈↓ ¬T␈εβ*;␈↓ ε≤␈εβa␈α
net␈↓ π ␈εβgr
␈β¬Y␈↓ α∪␈ε	T␈↓ βλ␈ε	x␈↓ β1␈ε	x␈↓ βt␈ε	x␈↓ ∧B␈ε	X␈↓ ∧l␈ε	x␈↓ ¬7␈ε	X␈↓ πP␈ε	T
␈β¬]␈↓ αd␈ε↔f␈↓ β←␈ε↔j␈↓ ∧~␈ε↔2␈↓ ¬∂␈ε↔2␈↓ ¬z␈ε↔9␈↓ εx␈ε↔2
␈β¬e␈↓ α-␈ε∧1
␈β¬g␈↓ β≠␈ε
i␈↓ ∧π␈ε
i
␈β¬h␈↓ βA␈ε
i␈↓ ∧|␈ε
i
␈β¬k␈↓ πA␈ε
i
␈βε
␈↓ ¬B␈εβbounded,␈↓ π:␈εβ**␈α
weak**␈α
and␈↓ 	<␈εβ*␈↓ 	␈␈εβ*␈α
in␈α
norm
␈βε∂␈↓ ¬→␈ε	x␈↓ εa␈ε	x␈↓ π'␈ε	x␈↓ 	)␈ε	x␈↓ 	l␈ε	x
␈βε∪␈↓ ππ␈ε↔!␈↓ 	L␈ε↔!␈↓ !␈ε↔g
␈βε≥␈↓ ¬,␈ε
i␈↓ εt␈ε
i
␈βε≡␈↓ 	9␈ε
i
␈βεa␈↓ ↓H␈εβ(or␈α
something␈α
like␈α
that).
␈βπ'␈↓ ↓H␈ε≥Sample␈α
3.
␈βπb␈↓ ↓H␈εβwhere␈↓ α←␈εβ,␈↓ β∨␈εβ,␈↓ βZ␈εβare␈α∞integers␈α∞such␈α∞that␈α
(␈↓ εx␈εβ,␈↓ π0␈εβ,␈↓ πU␈εβ)␈α=␈α1.␈α⊂Put␈↓ 	⊗␈εβ=␈↓ 
2␈εβand␈α∞de|ne
␈βπd␈↓ α4␈ε	P␈↓ αt␈ε	P␈↓ β4␈ε	Q␈↓ εM␈ε	P␈↓ π¬␈ε	P␈↓ π=␈ε	Q␈↓ λz␈ε	∞␈↓ 	5␈ε	~␈↓ 	⎇␈ε	~
␈βπh␈↓ 	e␈ε↔␈
␈βπo␈↓ αP␈ε∧1␈↓ β⊂␈ε∧2␈↓ εi␈ε∧1␈↓ π!␈ε∧2␈↓ 	M␈ε∧2␈↓ 
∃␈ε∧1
␈βλ
␈↓ α%␈ε∧2␈↓ αx␈ε∧2␈↓ ¬Q␈ε∧2␈↓ εF␈ε∧2
␈βλ⊃␈↓ ↓H␈εβ↓␈α
=␈↓ α>␈εβ=␈↓ β'␈εβ4␈↓ βd␈εβ,␈↓ ∧(␈εβ=␈α
(␈↓ ¬∧␈εβ+␈αλ4␈↓ ¬F␈εβ)␈↓ ε␈εβ4␈↓ εU␈εβ,
␈βλ∪␈↓ α∃␈ε	∞␈↓ α\␈ε	P␈↓ β9␈ε	P␈↓ ∧∧␈ε	E␈↓ ∧Q␈ε	P␈↓ ¬.␈ε	Q␈↓ ε∩␈ε	Q␈↓ ε*␈ε	P
␈βλ↔␈↓ β∂␈ε↔␈␈↓ ¬h␈ε↔␈
␈βλ≡␈↓ βU␈ε∧2␈↓ ∧m␈ε∧2
␈βλ!␈↓ αs␈ε∧1␈↓ εA␈ε∧1
␈βλM␈↓ ∧U␈ε↓␈␈↓ ε≡␈ε↓␈␈↓ πn␈ε↓␈␈↓ 	"␈ε↓␈
␈βλb␈↓ ∧U␈ε↓␈␈↓ ε≡␈ε↓␈␈↓ πn␈ε↓␈␈↓ 	"␈ε↓␈
␈βλs␈↓ ∧y␈ε
n␈↓ ¬B␈ε
n␈↓ λH␈ε
n␈↓ 	⊃␈ε
n
␈βλx␈↓ ∧U␈ε↓␈␈↓ ¬∩␈εβ+␈↓ ε≡␈ε↓␈␈↓ πn␈ε↓␈␈↓ πz␈εβ1␈↓ λa␈εβ+␈↓ 	"␈ε↓␈
␈βλz␈↓ ∧a␈ε	␈↓ ¬*␈ε	␈␈↓ ¬w␈ε	~␈↓ λ0␈ε	␈↓ λy␈ε	␈
␈βλ{␈↓ ∧?␈εβ1␈↓ πX␈εβ1
␈β	¬␈↓ ε∂␈ε∧1
␈β	λ␈↓ ∧y␈ε∧1␈↓ ¬B␈ε∧1␈↓ λH␈ε∧1␈↓ 	⊃␈ε∧1
␈β	
␈↓ ∧U␈ε↓␈␈↓ ε≡␈ε↓␈␈↓ πn␈ε↓␈␈↓ 	"␈ε↓␈
␈β	⊃␈↓ ∧≥␈εβ=␈↓ ε*␈εβ,␈↓ π6␈εβ=␈↓ 	.␈εβ.
␈β	∪␈↓ βk␈ε	V␈↓ ε␈␈ε	U
␈β	∨␈↓ ∧α␈ε
n␈↓ π≠␈ε
n
␈β	#␈↓ ∧U␈ε↓␈␈↓ ε≡␈ε↓␈␈↓ πn␈ε↓␈␈↓ 	"␈ε↓␈
␈β	(␈↓ ∧?␈∧	(∧?α∩␈↓ πX␈∧	(πXα∩
␈β	)␈↓ ∧y␈ε
n␈↓ ¬B␈ε
n␈↓ λH␈ε
n␈↓ 	⊃␈ε
n
␈β	.␈↓ ¬∩␈εβ+␈↓ πz␈εβ1␈↓ λa␈εβ+
␈β	0␈↓ ∧a␈ε	␈↓ ¬*␈ε	␈␈↓ ¬w␈ε	~␈↓ λ0␈ε	␈↓ λy␈ε	␈
␈β	6␈↓ ∧@␈ε	∞␈↓ πY␈ε	∞
␈β	9␈↓ ∧U␈ε↓␈␈↓ ε≡␈ε↓␈␈↓ πn␈ε↓␈␈↓ 	"␈ε↓␈
␈β	;␈↓ ε∂␈ε∧2
␈β	>␈↓ ∧y␈ε∧2␈↓ ¬B␈ε∧2␈↓ λH␈ε∧2␈↓ 	⊃␈ε∧2
␈β
⊂␈↓ ↓H␈εβThe␈α
|rst␈α
few␈α
values␈α
for␈α
these␈α
functions␈α
are␈α
given␈α
in␈α
the␈α
table␈α
below.
␈β
n␈↓ β2␈ε	n␈↓ ∧∂␈ε	V␈↓ πF␈ε	U
␈β
y␈↓ ∧&␈ε
n␈↓ πb␈ε
n
␈β-␈↓ β5␈εβ0␈↓ ∧∂␈εβ2␈↓ πF␈εβ0
␈βc␈↓ β5␈εβ1␈↓ ∧∂␈εβ0␈↓ πF␈εβ1
␈β→␈↓ β5␈εβ2␈↓ ∧j␈εβ2
␈β≠␈↓ ∧∨␈ε	P␈↓ ∧|␈ε	Q␈↓ πF␈ε	P
␈β∨␈↓ ∧∂␈ε↔␈␈↓ ∧R␈ε↔␈
␈β&␈↓ ∧;␈ε∧2␈↓ πb␈ε∧1
␈βG␈↓ πb␈ε∧2
␈βO␈↓ β5␈εβ3␈↓ λ\␈εβ3
␈βQ␈↓ ∧∨␈ε	P␈↓ ∧J␈ε	P␈↓ πF␈ε	P␈↓ λ⊃␈ε	P␈↓ λn␈ε	Q
␈βU␈↓ ∧∂␈ε↔␈␈↓ πy␈ε↔␈␈↓ λD␈ε↔␈
␈β\␈↓ ∧;␈ε∧1␈↓ ∧f␈ε∧2␈↓ λ-␈ε∧2
␈β←␈↓ π]␈ε∧1
␈β⎇␈↓ ∧+␈ε∧2␈↓ ∧v␈ε∧2
␈β}␈↓ εo␈ε∧2␈↓ πb␈ε∧3
␈β
¬␈↓ β5␈εβ4␈↓ ¬8␈εβ+␈αλ4␈↓ ε-␈εβ+␈αλ2␈↓ λ⊃␈εβ2␈↓ 	→␈εβ4
␈β
π␈↓ ∧∂␈ε	P␈↓ ∧Z␈ε	P␈↓ ¬¬␈ε	P␈↓ ¬b␈ε	P␈↓ ε
␈ε	Q␈↓ εW␈ε	Q␈↓ πF␈ε	P␈↓ λ#␈ε	P␈↓ λN␈ε	P␈↓ 	+␈ε	P␈↓ 	V␈ε	Q
␈β
␈↓ ∧B␈ε↔␈␈↓ πy␈ε↔␈␈↓ 	↓␈ε↔␈
␈β
∩␈↓ ¬!␈ε∧2␈↓ ¬}␈ε∧2␈↓ λ?␈ε∧1␈↓ λj␈ε∧2␈↓ 	G␈ε∧1
␈β
∃␈↓ ∧&␈ε∧2␈↓ ∧q␈ε∧1␈↓ π]␈ε∧1
␈β
u␈↓ ↓H␈ε≥Sample␈α
4.
␈β∞(␈↓ ∧+␈ε↓8
␈β∞0␈↓ ↓H␈εβand
␈β∞I␈↓ ∧+␈ε↓<
␈β∞M␈↓ ¬β␈ε∧2␈↓ ε
␈ε∧2␈↓ εo␈ε∧2
␈β∞T␈↓ ∧[␈εβ(␈↓ ε≠␈εβ)␈↓ εF␈εβ2␈↓ π<␈εβ(␈↓ πp␈εβodd)
␈β∞V␈↓ ∧C␈ε	Q␈↓ ∧f␈ε	X␈↓ ¬9␈ε	P␈↓ ¬d␈ε	W␈↓ εX␈ε	S␈↓ πG␈ε	m
␈β∞Z␈↓ ¬!␈ε↔␈␈↓ ε.␈ε↔␈
␈β∞a␈↓ ¬U␈ε∧2
␈β∞f␈↓ ¬β␈ε
m␈↓ ε¬␈ε
m
␈β∞m␈↓ λL␈εβ(mod␈↓ 	I␈εβ),
␈β∞o␈↓ βD␈ε	X␈↓ 	'␈ε	N
␈β∞s␈↓ ∧⊂␈ε↔⊃
␈β∞z␈↓ βa␈ε∧2
␈β∞|␈↓ βp␈ε
m
␈β∂β␈↓ ∧←␈ε∧2␈↓ ¬⊗␈ε∧2␈↓ ε≥␈ε∧2␈↓ πα␈ε∧2
␈β∂	␈↓ ∧+␈ε↓:
␈β∂
␈↓ ∧n␈εβ(␈↓ ε.␈εβ)␈↓ εY␈εβ2␈↓ π5␈εβ(␈↓ πi␈εβeven)
␈β∂␈↓ ∧C␈ε	P␈↓ ∧y␈ε	X␈↓ ¬L␈ε	P␈↓ ¬w␈ε	W␈↓ εk␈ε	S␈↓ π@␈ε	m
␈β∂⊂␈↓ ¬4␈ε↔␈␈↓ εA␈ε↔␈
␈β∂↔␈↓ ¬h␈ε∧2
␈β∂~␈↓ ∧Z␈ε∧2
␈β∂≤␈↓ ¬⊗␈ε
m␈↓ ε_␈ε
m
␈β∂?␈↓ ∧+␈ε↓8
␈β∂`␈↓ ∧+␈ε↓<
␈β∂d␈↓ εX␈ε∧2
␈β∂k␈↓ ∧[␈εβ(2␈↓ εi␈εβ)␈↓ π2␈εβ(␈↓ πf␈εβodd)
␈β∂m␈↓ ∧C␈ε	Q␈↓ ∧x␈ε	X␈↓ ¬+␈ε	W␈↓ επ␈ε	P␈↓ ε2␈ε	W␈↓ π=␈ε	m
␈β∂q␈↓ ¬o␈ε↔␈
␈β∂x␈↓ ¬∃␈ε
m␈↓ ¬Q␈ε
m␈↓ ε#␈ε∧1
␈β∂⎇␈↓ εS␈ε
m
␈β⊂∧␈↓ λB␈εβ(mod␈↓ 	?␈εβ).
␈β⊂ε␈↓ βH␈ε	w␈↓ 	≥␈ε	N
␈β⊂
␈↓ ∧⊂␈ε↔⊃
␈β⊂⊃␈↓ βa␈ε∧2
␈β⊂∪␈↓ βp␈ε
m
␈β⊂~␈↓ ∧←␈ε∧2␈↓ εk␈ε∧2
␈β⊂!␈↓ ∧+␈ε↓:␈↓ ∧n␈εβ(2␈↓ εα␈εβ+␈↓ ε|␈εβ)␈↓ π+␈εβ(␈↓ π←␈εβeven)
␈β⊂#␈↓ ∧C␈ε	P␈↓ ¬␈ε	X␈↓ ¬>␈ε	W␈↓ ε~␈ε	P␈↓ εE␈ε	W␈↓ π6␈ε	m
␈β⊂.␈↓ ¬(␈ε
m␈↓ ¬d␈ε
m␈↓ ε6␈ε∧1
␈β⊂1␈↓ ∧Z␈ε∧2
␈β⊂3␈↓ εf␈ε
m
␈β⊂p␈↓ ↓H␈ε≥Sample␈α
5.
␈β⊃@␈↓ α"␈ε∞1.2.␈α
Corollary.
␈β⊃B␈↓ ∧R␈ε	The␈αcon⎇uent␈αimage␈αof
␈β⊃t␈↓ ∧␈ε↓8␈↓ ¬≥␈ε↓9␈↓ ε←␈ε↓8␈↓ λu␈ε↓9
␈β∩∀␈↓ ∧␈ε↓>␈↓ ¬≥␈ε↓>␈↓ ε←␈ε↓>␈↓ λu␈ε↓>
␈β∩≤␈↓ ∧)␈ε	an␈αarc␈↓ ε⎇␈ε	an␈αarc
␈β∩∨␈↓ ∧␈ε↓>␈↓ ¬≥␈ε↓>␈↓ ε←␈ε↓>␈↓ λu␈ε↓>
␈β∩*␈↓ ∧␈ε↓<␈↓ ¬≥␈ε↓=␈↓ ε←␈ε↓<␈↓ λu␈ε↓=
␈β∩N␈↓ 	
␈εβ.
␈β∩P␈↓ ¬⎇␈ε	is
␈β∩R␈↓ ∧)␈ε	a␈αcircle␈↓ ε⎇␈ε	an␈αarc␈αor␈αcircle
␈β∩k␈↓ ∧␈ε↓>␈↓ ¬≥␈ε↓>␈↓ ε←␈ε↓>␈↓ λu␈ε↓>
␈β∩u␈↓ ∧␈ε↓>␈↓ ¬≥␈ε↓>␈↓ ε←␈ε↓>␈↓ λu␈ε↓>
␈β∪␈↓ ∧␈ε↓:␈↓ ¬≥␈ε↓;␈↓ ε←␈ε↓:␈↓ λu␈ε↓;
␈β∪λ␈↓ ∧)␈ε	a␈αfan␈↓ ε⎇␈ε	a␈αfan␈αon␈αan␈αarc
␈β⊗α

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα960
␈βα(␈↓ ↓H␈ε≥Sample␈α
6.
␈ββ ␈↓ α8␈ε↓X␈↓ ¬β␈ε↓X
␈ββ7␈↓ βF␈ε
␈
␈↓ ε⊃␈ε
␈
␈ββ>␈↓ ↓v␈εβlim␈↓ β}␈εβlim␈↓ ∧A␈εβlim␈↓ εZ␈εβ(␈↓ εs␈εβ)
␈ββ?␈↓ ↓v␈∧β?↓vα2␈↓ ∧A␈∧β?∧Aα2
␈ββ@␈↓ α⎇␈ε	X␈↓ ¬H␈ε	X␈↓ ε*␈ε	I␈↓ εe␈ε	∂
␈ββD␈↓ αr␈ε↔j␈↓ β;␈ε↔j␈↓ βc␈ε↔∀␈↓ ¬=␈ε↔j␈↓ εε␈ε↔j
␈ββM␈↓ β~␈ε
nk␈↓ ¬e␈ε
nk␈↓ ε9␈ε
nk
␈ββ↑␈↓ ∧≥␈ε∧0
␈ββ←␈↓ ↓l␈ε
n␈↓ ∧6␈ε
n
␈ββ`␈↓ ∧β␈ε
∂
␈ββb␈↓ ↓⎇␈ε_!␈α␈1␈↓ ∧G␈ε_!1
␈ββc␈↓ ∧∞␈ε_#
␈ββp␈↓ αJ␈ε
k␈↓ ¬∃␈ε
k
␈β∧⊃␈↓ λd␈ε↓X
␈β∧∀␈↓ 
␈ε↓␈␈↓ ∨␈ε↓↓
␈β∧(␈↓ 	r␈ε
␈
␈β∧.␈↓ πG␈εβ+␈↓ π←␈εβlim␈↓ λ!␈εβlim␈↓ 
→␈εβ1␈↓ 
{␈εβ(␈↓ ∀␈εβ)␈↓ -␈εβ,
␈β∧0␈↓ λ!␈∧∧0λ!α2␈↓ 	)␈ε	X␈↓ 
K␈ε	I␈↓ ε␈ε	∂
␈β∧4␈↓ 	≡␈ε↔j␈↓ 	g␈ε↔j␈↓ 
3␈ε↔␈
␈β∧=␈↓ 	F␈ε
nk␈↓ 
Z␈ε
nk
␈β∧N␈↓ π}␈ε∧0
␈β∧O␈↓ λ↔␈ε
n
␈β∧P␈↓ πc␈ε
∂
␈β∧R␈↓ λ(␈ε_!1
␈β∧S␈↓ πn␈ε_#
␈β∧`␈↓ λv␈ε
k
␈β¬\␈↓ ↓H␈ε≥Sample␈α
7.
␈βε_␈↓ β1␈εβ+␈↓ ∧1␈εβ,␈αfor␈α
some␈↓ ¬t␈εβ=␈↓ ε"␈εβ(␈↓ ε@␈εβ,␈↓ ε[␈εβ)␈α
>␈α
0␈α
for␈α
each␈↓ 	∨␈εβ,␈↓ 
∧␈εβ=␈α
1,␈α
and␈α
each
␈βε~␈↓ α5␈ε	u␈↓ β∃␈ε	u␈↓ βI␈ε	∃x␈↓ ∧!␈ε	∞␈↓ ¬Z␈ε	∞␈↓ ε∩␈ε	∞␈↓ ε-␈ε	x␈↓ εM␈ε	∂␈↓ λ<␈ε	u␈↓ 	β␈ε	U␈↓ 	R␈ε	u
␈βε≡␈↓ α"␈ε↔k␈↓ αJ␈ε↔k␈α
∀␈α
k␈↓ βn␈ε↔k␈αλ␈␈↓ λ[␈ε↔2␈↓ 	?␈ε↔k␈↓ 	g␈ε↔k
␈βεC␈↓ ↓Z␈εβ,␈↓ αU␈εβ.
␈βεE␈↓ ↓H␈ε	∃␈↓ α¬␈ε	∃␈↓ αG␈ε	∂
␈βεI␈↓ ↓z␈ε↔j␈↓ α↔␈ε↔j␈α
∃
␈βπ∩␈↓ ↓H␈ε≥Sample␈α
8.
␈βπM␈↓ ↓H␈εβTherefore
␈βπ↑␈↓ ¬;␈ε↓␈␈↓ ε∃␈ε↓↓
␈βπf␈↓ β;␈ε↓R
␈βπn␈↓ βS␈ε∧1
␈βπr␈↓ εα␈ε∧1
␈βπu␈↓ ∧⊃␈ε∧2
␈βπx␈↓ ¬f␈εβ+
␈βπz␈↓ ∧
␈ε_0␈↓ ¬&␈ε	n␈↓ ¬I␈ε	n
␈βπ|␈↓ ∧ ␈εβ(␈↓ ∧>␈εβ)
␈βπ}␈↓ βn␈ε	P␈↓ ∧+␈ε	x␈↓ ∧O␈ε	dx␈↓ π⊂␈εβ3␈↓ πy␈εβ3
␈βλ␈↓ εS␈ε	n
␈βλ␈↓ εα␈ε∧2
␈βλ␈↓ ∧¬␈ε∧0
␈βλ
␈↓ βY␈ε∧1
␈βλ∞␈↓ εα␈∧λ∞εαα∂
␈βλ∩␈↓ βL␈ε_␈
␈βλ∃␈↓ ¬∧␈εβ=␈↓ ε1␈εβ=␈↓ εt␈εβ+␈↓ π.␈εβ+␈↓ λ=␈εβ,␈↓ 	1␈εβ>␈α
1.
␈βλ↔␈↓ 	∩␈ε	n
␈βλ#␈↓ β?␈ε↓R
␈βλ+␈↓ βW␈ε∧1
␈βλ,␈↓ β;␈∧λ,β;α↓<␈↓ ¬&␈∧λ,¬&α⎇␈↓ εS␈∧λ,εSα∃␈↓ π⊂␈∧λ,π⊂α∩␈↓ πJ␈∧λ,πJαo
␈βλ.␈↓ ¬-␈εβ2(␈↓ ¬␈␈εβ1)␈↓ εU␈εβ2␈↓ π⊂␈εβ4␈↓ πJ␈εβ4(␈↓ λ≤␈εβ1)
␈βλ0␈↓ ¬J␈ε	n␈↓ πg␈ε	n
␈βλ3␈↓ ∧∞␈ε∧2
␈βλ4␈↓ ¬g␈ε↔␈␈↓ λ∧␈ε↔␈
␈βλ9␈↓ ∧≥␈εβ(␈↓ ∧;␈εβ)
␈βλ;␈↓ βr␈ε	P␈↓ ∧(␈ε	x␈↓ ∧L␈ε	dx
␈βλJ␈↓ β]␈ε∧1
␈βλK␈↓ ∧	␈ε∧0
␈βλO␈↓ βP␈ε_␈
␈β	!␈↓ ↓H␈ε≥Sample␈α
9.
␈β
%␈↓ βF␈ε_0
␈β
'␈↓ ↓r␈εβmax␈↓ βR␈εβ(␈↓ βp␈εβ)
␈β
)␈↓ β*␈ε	P␈↓ β]␈ε	x
␈β
-␈↓ β∨␈ε↔j␈↓ β{␈ε↔j␈↓ ∧6␈ε	n
␈β
4␈↓ αC␈ε∧1␈↓ α⎇␈ε∧+1
␈β
6␈↓ α`␈ε
x
␈β
9␈↓ α6␈ε_␈␈↓ αR␈ε_∀␈↓ αo␈ε_∀␈↓ βA␈ε
n
␈β
B␈↓ ¬[␈εβ=␈α
2
␈β
D␈↓ ¬↔␈ε	if␈αn␈↓ ε␈ε	,␈α3,
␈β
H␈↓ ∧↔␈ε↔∃
␈β
X␈↓ ↓p␈∧
X↓pαα~␈↓ ∧6␈∧
X∧6α∃
␈β
Z␈↓ ↓p␈εβmax␈↓ βU␈εβ(␈↓ βs␈εβ)␈↓ ∧7␈εβ2
␈β
\␈↓ β(␈ε	P␈↓ β`␈ε	x
␈β
`␈↓ β≥␈ε↔j␈↓ β}␈ε↔j
␈β
h␈↓ αA␈ε∧1␈↓ α{␈ε∧+1␈↓ βD␈ε
n
␈β
j␈↓ α↑␈ε
x
␈β
m␈↓ α4␈ε_␈␈↓ αP␈ε_∀␈↓ αm␈ε_∀
␈β∞␈↓ ∧q␈ε∧(␈↓ ¬_␈ε∧2)/2
␈β⊂␈↓ ∧z␈ε
n
␈β∪␈↓ ¬␈ε_␈
␈β~␈↓ ∧*␈εβ1
␈β≤␈↓ α␈␈ε	n
␈β≥␈↓ βD␈ε↓∩␈↓ ∧[␈ε↓∪
␈β1␈↓ βZ␈εβ1␈↓ ¬I␈εβ,␈↓ π↑␈εβ4
␈β3␈↓ ε≡␈ε	n␈αeven,␈α→n␈↓ πp␈ε	,
␈β7␈↓ α4␈ε↔∃␈↓ βt␈ε↔␈␈↓ πC␈ε↔∃
␈βG␈↓ αS␈∧GαSαm␈↓ ∧⊂␈∧G∧⊂αG
␈βJ␈↓ ∧E␈εβ1
␈βL␈↓ ∧⊂␈ε	n
␈βP␈↓ ∧-␈ε↔␈
␈βY␈↓ αS␈ε↔p␈↓ αy␈∧YαyαG
␈βZ␈↓ β.␈εβ1
␈β\␈↓ αy␈ε	n
␈β`␈↓ β⊗␈ε↔␈
␈β∧␈↓ ¬v␈ε∧(␈↓ ε≥␈ε∧3)/2␈↓ λ#␈ε∧(␈↓ λJ␈ε∧1)/2
␈βε␈↓ ¬␈␈ε
n␈↓ λ,␈ε
n
␈β	␈↓ ε⊂␈ε_␈␈↓ λ=␈ε_␈
␈β∪␈↓ ∧!␈ε↓ ␈↓ ¬←␈ε↓!␈↓ εN␈ε↓ ␈↓ λ␈ε↓!
␈β∀␈↓ β;␈ε∧2
␈β~␈↓ ∧n␈ε↔p␈↓ ¬∀␈∧~¬∀αG
␈β≠␈↓ ¬1␈εβ+␈αλ1␈↓ πH␈εβ1
␈β≥␈↓ β&␈ε	n␈↓ ¬∀␈ε	n
␈β2␈↓ ∧8␈εβ1␈↓ εe␈εβ1␈αλ+␈↓ λ{␈εβ,
␈β8␈↓ α4␈ε↔∃␈↓ ∧R␈ε↔␈
␈βH␈↓ αS␈∧HαSα↓K␈↓ ∧n␈∧H∧nαm␈↓ π≠␈∧Hπ≠αm
␈βJ␈↓ ¬6␈εβ1
␈βL␈↓ ¬↓␈ε	n
␈βP␈↓ ¬≡␈ε↔␈
␈βZ␈↓ αS␈εβ(␈↓ β∪␈εβ1)␈↓ β0␈ε↔p␈↓ βV␈∧ZβVαG␈↓ βs␈εβ+␈αλ1␈↓ π≠␈ε↔p␈↓ πA␈∧ZπAαG␈↓ π↑␈εβ+␈αλ1
␈β\␈↓ α↑␈ε	n␈↓ βV␈ε	n␈↓ πA␈ε	n
␈β`␈↓ α{␈ε↔␈
␈βj␈↓ 
⊃␈εβ5
␈βl␈↓ 	2␈ε	if␈αn␈↓ 
.␈ε	and␈αodd.
␈βp␈↓ 	v␈ε↔∃
␈β∞∩␈↓ ↓H␈ε≥Sample␈α
10␈α␈.
␈β∞Z␈↓ ∧o␈ε↓0␈↓ ¬+␈ε↓1␈↓ πh␈ε↓0␈↓ λ$␈ε↓1
␈β∞e␈↓ ¬c␈ε↓0␈↓ ε]␈ε↓1
␈β∂∧␈↓ ¬λ␈ε	x␈↓ λ∧␈ε	c
␈β∂∂␈↓ ¬≠␈ε∧1␈↓ λ∩␈ε∧1
␈β∂≠␈↓ ∧o␈ε↓B␈↓ ¬+␈ε↓C␈↓ πh␈ε↓B␈↓ λ$␈ε↓C
␈β∂∨␈↓ ¬{␈ε	b
␈β∂&␈↓ ¬c␈ε↓B␈↓ ε]␈ε↓C
␈β∂*␈↓ ε
␈ε∧1
␈β∂.␈↓ ¬⊗␈εβ.␈↓ λ∂␈εβ.
␈β∂1␈↓ ∧o␈ε↓B␈↓ ¬+␈ε↓C␈↓ πh␈ε↓B␈↓ λ$␈ε↓C
␈β∂;␈↓ ¬c␈ε↓B␈↓ ε]␈ε↓C
␈β∂<␈↓ ¬⊗␈εβ.␈↓ λ∂␈εβ.
␈β∂?␈↓ ¬K␈εβ+␈↓ πJ␈εβ=␈↓ λB␈εβ,
␈β∂A␈↓ ∧V␈ε	a␈↓ ε{␈ε	x
␈β∂F␈↓ ∧o␈ε↓B␈↓ ¬+␈ε↓C␈↓ πh␈ε↓B␈↓ λ$␈ε↓C
␈β∂I␈↓ επ␈εβ.
␈β∂J␈↓ ¬⊗␈εβ.␈↓ λ∂␈εβ.
␈β∂M␈↓ π$␈ε∧+1
␈β∂O␈↓ π∞␈ε
m
␈β∂Q␈↓ ¬c␈ε↓@␈↓ ε]␈ε↓A
␈β∂W␈↓ επ␈εβ.
␈β∂\␈↓ ∧o␈ε↓@␈↓ ¬+␈ε↓A␈↓ πh␈ε↓@␈↓ λ$␈ε↓A
␈β∂e␈↓ επ␈εβ.
␈β∂y␈↓ ε=␈ε	b
␈β⊂α␈↓ ¬π␈ε	x␈↓ λ␈ε	c
␈β⊂¬␈↓ εL␈ε
n
␈β⊂∞␈↓ ¬~␈ε
n␈↓ λ∞␈ε
m
␈β⊂t␈↓ ↓H␈ε≥Sample␈α
11␈α␈.
␈β⊃T␈↓ ε∃␈εn␈↓ πF␈εn␈↓ λS␈εn
␈β⊃V␈↓ β⎇␈ε∧(1)␈↓ π_␈ε∧1+␈↓ λG␈ε~␈
␈β⊃X␈↓ εβ␈ε
p␈↓ π4␈ε
p␈↓ λ5␈ε
p␈↓ 	↓␈ε
p
␈β⊃↑␈↓ β↑␈εβ(␈↓ ∧≡␈εβ)␈α
=␈↓ εy␈εβ(␈↓ πU␈εβ)␈↓ λβ␈εβ=␈↓ λb␈εβ(␈↓ 	∪␈εβ)␈↓ 	]␈εβ.
␈β⊃`␈↓ β;␈ε	k␈↓ βi␈ε	k␈↓ ∧j␈ε	u␈↓ ¬1␈ε	K␈↓ ¬n␈ε	u␈↓ εV␈ε	k␈↓ π∧␈ε	k␈↓ λ!␈ε	k␈↓ λm␈ε	k␈↓ 	I␈ε	k
␈β⊃d␈↓ ∧Q␈ε↔f␈↓ ¬	␈ε↔2␈↓ ¬Y␈ε↔j␈↓ ε.␈ε↔2␈↓ πf␈ε↔g␈↓ 	&␈ε↔\
␈β⊃k␈↓ βO␈ε∧0␈↓ εj␈ε∧0
␈β⊃n␈↓ λ5␈ε∧0
␈β∩"␈↓ βD␈ε∧1,
␈β∩$␈↓ β-␈ε
t␈↓ βY␈ε
q
␈β∩'␈↓ β7␈ε_␈
␈β∩+␈↓ ↓H␈εβLet␈↓ α@␈εβ=␈↓ ∧⊗␈εβand␈α
de|ne␈↓ ¬{␈εβ,␈↓ ε=␈εβ,␈↓ π␈εβsimilarly.
␈β∩-␈↓ α	␈ε	V␈↓ αq␈ε	v␈↓ ¬H␈ε	X␈↓ ε∂␈ε	Y␈↓ εQ␈ε	Z
␈β∩.␈↓ βf␈εi
␈β∩1␈↓ α↑␈ε↔f␈↓ β~␈ε↔g
␈β∩8␈↓ α ␈ε
m␈↓ β␈ε∧,␈↓ ¬e␈ε
m␈↓ ε'␈ε
m␈↓ εi␈ε
m
␈β∩:␈↓ ββ␈ε
i␈↓ β∩␈ε
j
␈β∩<␈↓ β6␈ε∧=␈↓ β\␈ε∧,␈↓ βj␈ε∧=1
␈β∩>␈↓ β-␈ε
i␈↓ βF␈ε
m␈↓ βb␈ε
j
␈β∩s␈↓ ∧X␈εn␈↓ πh␈εn
␈β∩u␈↓ ∧L␈ε~␈␈↓ π\␈ε~␈
␈β∩w␈↓ ∧:␈ε
p␈↓ ¬ε␈ε
p␈↓ εV␈ε
p␈↓ πJ␈ε
p
␈β∩|␈↓ α"␈ε∞Contention.␈↓ ∧g␈εβ(␈↓ ¬_␈εβ)␈↓ ¬{␈εβ=␈↓ ε<␈εβ(␈↓ εh␈εβ)(␈↓ π$␈εβ,␈↓ πw␈εβ)
␈β∩}␈↓ ∧&␈ε	k␈↓ ∧r␈ε	k␈↓ ¬]␈ε	k␈↓ ε→␈ε	k␈↓ εG␈ε	s␈↓ ε}␈ε	V␈↓ π1␈ε	w␈↓ λα␈ε	.
␈β∪α␈↓ ¬-␈ε↔~
␈β∪	␈↓ ε-␈ε∧0␈↓ π∃␈ε∧1
␈β∪␈↓ ∧:␈ε∧0
␈β∪D␈↓ α"␈ε∞Proof:␈εβ␈α→The␈α
claim␈α
is␈α
that
␈β⊗α

␈β↓Y␈↓ "␈εα961
␈βα(␈↓ ↓H␈ε≥Sample␈α
12␈α␈.
␈ββ
␈↓ βh␈ε∧Abstract.␈α_Let␈↓ εI␈ε∧be␈α	|elds␈α
of␈α
characteristic
␈ββ␈↓ ¬&␈ε
k␈↓ ¬f␈ε
s␈↓ ε!␈ε
k␈↓ 	∂␈ε
p
␈ββ∂␈↓ ¬?␈ε_≠␈↓ ¬z␈ε_≠␈↓ 	*␈ε_≤
␈ββ⊗␈↓ ε1␈εε0
␈ββ.␈↓ βh␈ε∧0,␈↓ ∧"␈ε∧/␈↓ ∧S␈ε∧|nitely␈αλgenerated␈α	and␈↓ πβ␈ε∧a␈α	distinguished␈α	sub|eld.
␈ββ0␈↓ ∧∩␈ε
k␈↓ ∧,␈ε
k␈↓ εo␈ε
s
␈ββ:␈↓ ∧<␈εε0
␈ββU␈↓ λ≥␈εε+
␈ββW␈↓ π⊂␈εt␈↓ λ∞␈εn␈↓ λ)␈εt
␈ββX␈↓ ¬!␈εε(␈↓ ¬8␈εε)
␈ββZ␈↓ ¬)␈εn
␈ββ↑␈↓ π␈εp␈↓ π}␈εp
␈ββa␈↓ βh␈ε∧The␈α|eld␈↓ ¬λ␈ε∧(␈↓ ¬@␈ε∧)␈α=␈↓ πe␈ε∧(␈↓ λ2␈ε∧)␈αfor␈αsome
␈ββc␈↓ ∧j␈ε
k␈↓ ¬⊃␈ε
k␈↓ ε∧␈ε
x␈↓ εB␈ε
k␈↓ εq␈ε
x␈↓ πG␈ε
k␈↓ πn␈ε
k
␈ββf␈↓ ¬p␈ε_f␈↓ ε≡␈ε_2␈↓ ε]␈ε_j␈↓ π$␈ε_2
␈ββm␈↓ ∧z␈εε0␈↓ πW␈εε0
␈β∧∧␈↓ ¬7␈εn
␈β∧␈↓ ¬'␈εp
␈β∧∞␈↓ ∧⊃␈ε∧0␈↓ ∧>␈ε∧has␈↓ ¬∩␈ε∧(␈↓ ¬F␈ε∧)␈α
as␈α
a␈α
distinguished␈α
sub|eld␈α
and␈α
is
␈β∧⊂␈↓ βh␈ε
t␈↓ ∧t␈ε
k␈↓ ¬≠␈ε
s
␈β∧∪␈↓ βz␈ε_∃␈↓ ∧%␈ε_g
␈β∧→␈↓ ¬∧␈εε0
␈β¬π␈↓ ↓H␈ε≥Sample␈α
13␈α␈.
␈β¬F␈↓ α"␈ε∞Proof:␈εβ␈α∃Consider␈αa␈αminimal␈αnormal␈αsubgroup␈↓ λn␈εβλ(␈↓ 	,␈εβ)␈↓ 	\␈εβ1␈αand␈αthe␈αfactor
␈β¬H␈↓ λ∩␈ε	N␈↓ 	∩␈ε	G
␈β¬L␈↓ λ>␈ε↔∩␈↓ 	A␈ε↔≤
␈β¬q␈↓ ↓H␈εβgroup␈↓ αO␈εβ/␈↓ α⎇␈εβ.␈α↔Then␈↓ ∧↑␈εβ/␈↓ ¬O␈εβ=␈α∂1,␈↓ ε⊃␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ε8␈εβ,␈↓ π∧␈εβis␈α⊂a␈α⊂lower␈α⊂nilpotent␈α⊂series␈α⊃for␈↓ #␈εβ/␈↓ Q␈εβ,
␈β¬s␈↓ α5␈ε	G␈↓ α[␈ε	N␈↓ ∧≠␈ε	N␈↓ ∧=␈ε	L␈↓ ∧j␈ε	N␈↓ ¬6␈ε	j␈↓ εE␈ε	n␈↓ 
v␈ε	G␈↓ /␈ε	N
␈β¬w␈↓ ∧α␈ε↔f␈↓ ¬≠␈ε↔j␈↓ ε`␈ε↔g
␈βε␈↓ ∧V␈ε
j
␈βεβ␈↓ ⊂␈ε_F
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relative␈α∞s-stem␈α
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to␈α∞the
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␈βε+␈↓ αε␈ε
G␈↓ αF␈ε
n␈↓ αd␈ε
j␈↓ λ2␈ε
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j
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␈βε8␈↓ α≠␈ε~F
␈βεG␈↓ ↓H␈εβSylow␈α	system␈↓ β,␈εβ*␈α	of␈↓ ∧~␈εβ/␈↓ ∧R␈εβinto␈α	which␈↓ ε≤␈εβreduces,␈α
and␈α	the␈α	prefrattini␈α	series␈α
for␈α	(␈↓ ␈εβ/␈↓ :␈εβ)
␈βεI␈↓ βn␈ε	G␈↓ ∧&␈ε	N␈↓ 
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␈βεM␈↓ β≠␈ε↔S␈↓ ε↓␈ε↔S
␈βεY␈↓ ∧λ␈ε_F␈↓ E␈ε_F
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␈βεq␈↓ ¬[␈εβ∩␈↓ λn␈εβ∩
␈βε{␈↓ ↓H␈εβis␈↓ αy␈εβ/␈↓ β4␈εβ=␈↓ βU␈εβλ␈↓ ∧q␈εβ*␈↓ ∧⎇␈εβ/␈↓ ¬8␈εβ=␈↓ ¬r␈εβ*␈↓ πf␈εβ*␈↓ λ⊂␈εβ/␈↓ λL␈εβ=␈↓ 	ε␈εβ*␈↓ 	p␈εβλ␈↓ 
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␈βε⎇␈↓ ↓o␈ε	N␈↓ β¬␈ε	N␈↓ ∧6␈ε	NL␈↓ ¬	␈ε	N␈↓ ¬Y␈ε	L␈↓ π+␈ε	NL␈↓ λ≤␈ε	N␈↓ λm␈ε	L␈↓ 
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n
␈βπ
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n
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n
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␈βπ-␈↓ ↓H␈εβThe␈αλresult␈α	is␈α	valid␈α	whenever␈↓ ¬E␈εβis␈α	nilpotent.␈αBy␈α	induction,␈↓ 	2␈εβλ␈↓ 	S␈εβ(␈↓ 
A␈εβ(␈↓ ∨␈εβ)/
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j
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␈βλ
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n
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j
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n
␈β
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␈β

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␈β
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␈β
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␈β
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␈β
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␈β
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␈β
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␈β
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j␈↓ λ⊗␈ε
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j
␈β
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␈β
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␈β
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␈β
]␈↓ ∧"␈ε
j␈↓ π!␈ε
j
␈βY␈↓ ↓H␈ε≥Sample␈α
14␈α␈.
␈βM␈↓ ∧<␈εβPermutations␈↓ εE␈εβOne␈α
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peak
␈β
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␈β
9␈↓ ¬
␈εβ123␈↓ εy␈εβ123␈↓ λ`␈εβ123
␈β
↑␈↓ λ`␈∧
↑λ`α6
␈β
o␈↓ ¬
␈εβ132␈↓ εy␈εβ123␈↓ λ`␈εβ132
␈β∞∀␈↓ εy␈∧∞∀εyα6
␈β∞%␈↓ ¬
␈εβ231␈↓ εy␈εβ231␈↓ λ`␈εβ231
␈β∞J␈↓ εy␈∧∞Jεyα6
␈β∞[␈↓ ¬
␈εβ213␈↓ εy␈εβ213␈↓ λ`␈εβ231
␈β∂␈↓ λ`␈∧∂λ`α6
␈β∂⊃␈↓ ¬
␈εβ312␈↓ εy␈εβ312␈↓ λ`␈εβ312
␈β∂6␈↓ λ`␈∧∂6λ`α6
␈β∂G␈↓ ¬
␈εβ321␈↓ εy␈εβ321␈↓ λ`␈εβ321
␈β∂l␈↓ λ`␈∧∂lλ`α6
␈β⊂λ␈↓ βC␈εβTotal␈↓ ∧z␈εβ6␈α
=␈↓ ¬I␈εβ!␈↓ εa␈εβ2␈α
=␈↓ λH␈εβ4␈α
=
␈β⊂
␈↓ ¬4␈ε	n␈↓ π≠␈ε	P␈↓ 	α␈ε	P
␈β⊂∃␈↓ π7␈ε∧2␈↓ 	≡␈ε∧1
␈β⊃⊂␈↓ ↓H␈ε≥Sample␈α
15␈α␈.
␈β⊃b␈↓ ¬c␈ε↓0␈↓ πx␈ε↓1
␈β∩!␈↓ ε↔␈ε∧/2␈↓ ε=␈ε∧1
␈β∩#␈↓ ¬c␈ε↓B␈↓ ¬{␈ε
n␈↓ πx␈ε↓C
␈β∩&␈↓ ∧
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␈β∩*␈↓ β{␈ε↓X␈↓ ε	␈ε↓X
␈β∩,␈↓ ε␈εe␈↓ λ3␈ε
n
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␈β∩9␈↓ ¬c␈ε↓B␈↓ πx␈ε↓C
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␈β∩>␈↓ π[␈ε
h
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n
␈β∩H␈↓ αo␈εβ=␈α
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␈β∩N␈↓ ∧w␈ε↔␈␈↓ ¬c␈ε↓B␈↓ πx␈ε↓C
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h␈↓ ε}␈ε
h␈↓ π≠␈ε
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␈β∩b␈↓ λ"␈ε	n
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␈β∩m␈↓ λ7␈ε
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␈β∩z␈↓ β[␈ε∧=2;(␈↓ ∧c␈ε∧)␈↓ ε¬␈ε
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n␈↓ ∧	␈ε
n
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␈β∪¬␈↓ βP␈εe␈↓ ∧~␈εe
␈β⊗α

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N
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␈↓ ∧
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␈ββ`␈↓ ¬P␈ε↔␈
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␈ββj␈↓ β(␈ε∧0␈↓ ¬x␈ε∧0
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j␈ε↓7
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␈β∧
␈↓ αz␈ε↓6␈↓ 
j␈ε↓7
␈β∧␈↓ βt␈ε
N␈↓ ¬≠␈ε
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N␈↓ ε←␈ε
N␈↓ 	3␈ε
N
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␈β∧∩␈↓ β\␈ε	␈␈↓ ∧∂␈ε	h␈↓ ¬β␈ε	␈␈↓ ¬V␈ε	␈↓ ε∀␈ε	h␈↓ εG␈ε	␈
␈↓ εz␈ε	h␈↓ 	≠␈ε	␈↓ 	N␈ε	h
␈β∧⊗␈↓ β∩␈ε↔␈␈↓ βD␈ε↔␈␈↓ λQ␈ε↔␈␈↓ 	β␈ε↔␈
␈β∧ ␈↓ αz␈ε↓6␈↓ βt␈ε∧1␈↓ ¬≠␈ε∧1␈↓ ¬n␈ε∧1␈↓ ε←␈ε∧1␈↓ 	3␈ε∧1␈↓ 
j␈ε↓7
␈β∧6␈↓ αz␈ε↓6␈↓ 
j␈ε↓7
␈β∧>␈↓ β@␈ε↔↓␈↓ ¬[␈ε↔↓␈↓ λ␈␈ε↔↓
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␈β∧F␈↓ α≡␈ε	A
␈β∧K␈↓ αz␈ε↓6␈↓ 
j␈ε↓7
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N
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j␈ε↓7
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j␈ε↓7
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N␈↓ λ∃␈ε
N␈↓ 	∧␈ε
N␈↓ 
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N
␈β∧|␈↓ ¬7␈εβ1␈↓ π@␈εβ2␈αλ+␈αλ(␈↓ λT␈εβ+␈↓ 	;␈εβ)␈↓ 	a␈εβ+
␈β∧}␈↓ ¬i␈ε	␈␈↓ ε8␈ε	h␈↓ π⎇␈ε	␈␈↓ λl␈ε	␈↓ 	F␈ε	h␈↓ 	y␈ε	␈
␈↓ 
H␈ε	h
␈β¬α␈↓ ¬∨␈ε↔␈␈↓ ¬Q␈ε↔␈
␈β¬␈↓ αz␈ε↓4␈↓ ε)␈ε∧1␈↓ λ=␈ε∧1␈↓ 	,␈ε∧1␈↓ 
9␈ε∧1␈↓ 
j␈ε↓5
␈β¬∞␈↓ ε↓␈ε
N␈↓ λ∃␈ε
N␈↓ 	∧␈ε
N␈↓ 
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N
␈β¬⊃␈↓ ε≤␈ε_␈␈↓ λ0␈ε_␈␈↓ 	∨␈ε_␈␈↓ 
,␈ε_␈
␈β¬-␈↓ ¬x␈ε
N␈↓ λ↑␈ε
N
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␈β¬4␈↓ ¬`␈ε	␈␈↓ λF␈ε	␈␈↓ 	→␈ε	␈
␈↓ 	R␈ε	h
␈β¬8␈↓ ¬P␈ε↔␈
␈β¬A␈↓ 	1␈ε
N
␈β¬D␈↓ ¬x␈ε
N␈↓ λ↑␈ε
N
␈βεu␈↓ ↓H␈ε≥Sample␈α
17␈α␈.
␈βπ0␈↓ ε∩␈εβTable␈α
1
␈βπp␈↓ π;␈εβ(␈↓ πh␈εβ,␈↓ λ⊃␈εβ)␈α
=␈α
(.2,␈αε.4)
␈βπr␈↓ ∧ε␈ε	Interpolation␈αFormulas␈αfor␈↓ πF␈ε	x␈↓ πu␈ε	t
␈βλ↓␈↓ πY␈ε_β␈↓ λα␈ε_β
␈βλ+␈↓ αD␈ε	N␈↓ ∧!␈ε	A␈↓ ε⎇␈ε	x␈↓ 	e␈ε	t
␈βλ8␈↓ ∧:␈ε
i␈↓ π⊂␈ε
i␈↓ 	r␈ε
i
␈βλ←␈↓ αL␈εβ2␈↓ βb␈εβ.4588␈αλ3147␈↓ ε∨␈εβ.7435␈αλ5958␈↓ λr␈εβ0␈↓ 	∧␈εβ.0
␈βλe␈↓ ε∂␈ε↔␈
␈β	
␈↓ βb␈εβ.5411␈αλ6853␈↓ ε
␈εβ1␈↓ ε∨␈εβ.0␈↓ 	∧␈εβ.4171␈αλ7446(␈↓ 
>␈εβ1)
␈β	⊂␈↓ 
.␈ε↔␈
␈β	5␈↓ αL␈εβ3␈↓ βb␈εβ.2281␈αλ3315␈↓ ε
␈εβ1␈↓ ε∨␈εβ.0␈↓ 	∧␈εβ.1148␈αλ8151
␈β	;␈↓ ¬⎇␈ε↔␈
␈β	a␈↓ βb␈εβ.3726␈αλ6462␈↓ ε∨␈εβ.7763␈αλ2581(␈↓ πY␈εβ1)␈↓ λr␈εβ0␈↓ 	∧␈εβ.0
␈β	g␈↓ πI␈ε↔␈
␈β
␈↓ αL␈εβ4␈↓ βb␈εβ.3992␈αλ0223␈↓ ε
␈εβ1␈↓ ε∨␈εβ.0␈↓ 	∧␈εβ.1978␈αλ9729
␈βε␈↓ ↓H␈ε≥Sample␈α
18␈α␈.
␈βA␈↓ ε∩␈εβTable␈α
2
␈β∧␈↓ αt␈ε	Approximate␈αSolution␈αof␈αan␈αInitial-Boundary␈αValue␈αProblem
␈β7␈↓ α ␈εβ(␈↓ αN␈εβ,␈↓ αw␈εβ):␈↓ ∧_␈εβ(.1,␈αε.1)␈↓ ¬A␈εβ(.2,␈αε.1)␈↓ εj␈εβ(.3,␈αε.1)␈↓ λ∪␈εβ(.1,␈αε.2)␈↓ 	<␈εβ(.2,␈αε.2)␈↓ 
e␈εβ(.3,␈αε.2)
␈β9␈↓ α+␈ε	x␈↓ α[␈ε	t
␈βG␈↓ α>␈ε_β␈↓ αh␈ε_β
␈βm␈↓ ↓`␈εβExact␈α
solution:␈↓ ∧∩␈εβ7.7172␈↓ ¬;␈εβ7.4310␈↓ εd␈εβ6.9610␈↓ λ
␈εβ6.0298␈↓ 	6␈εβ5.8062␈↓ 
←␈εβ5.4396
␈β
~␈↓ αD␈ε	N
␈β
C␈↓ αL␈εβ2␈↓ ∧∩␈εβ7.5884␈↓ ¬;␈εβ7.2589␈↓ εd␈εβ6.8005␈↓ λ
␈εβ5.3908␈↓ 	6␈εβ5.1908␈↓ 
←␈εβ4.8631
␈β
o␈↓ αL␈εβ3␈↓ ∧∩␈εβ7.7261␈↓ ¬;␈εβ7.4395␈↓ εd␈εβ6.9691␈↓ λ
␈εβ6.0806␈↓ 	6␈εβ5.8527␈↓ 
←␈εβ5.4799
␈β∞~␈↓ αL␈εβ4␈↓ ∧∩␈εβ7.7171␈↓ ¬;␈εβ7.4308␈↓ εd␈εβ6.9616␈↓ λ
␈εβ6.0276␈↓ 	6␈εβ5.8040␈↓ 
←␈εβ5.4376
␈β∞E␈↓ αL␈εβ5␈↓ ∧∩␈εβ7.7172␈↓ ¬;␈εβ7.4310␈↓ εd␈εβ6.9618␈↓ λ
␈εβ6.0299␈↓ 	6␈εβ5.8063␈↓ 
←␈εβ5.4397
␈β∂?␈↓ ↓H␈ε≥Sample␈α
19␈α␈.
␈β⊂ ␈↓ λn␈ε↓0␈↓ 	X␈ε↓1
␈β⊂+␈↓ π>␈ε↓0␈↓ λ.␈ε↓1
␈β⊂1␈↓ 	#␈ε∧(␈↓ 	5␈ε∧)
␈β⊂3␈↓ 	,␈ε
l
␈β⊂<␈↓ 	⊂␈εβ∂
␈β⊂A␈↓ β)␈ε↓0␈↓ π&␈ε↓1␈↓ πy␈ε∧(␈↓ λ␈ε∧)
␈β⊂C␈↓ λα␈ε
l
␈β⊂H␈↓ 	∀␈ε	f
␈β⊂L␈↓ πc␈εβ∂
␈β⊂P␈↓ πd␈ε	u
␈β⊂X␈↓ 	#␈ε
N
␈β⊂`␈↓ πy␈ε
N
␈β⊂a␈↓ λn␈ε↓B␈↓ 	X␈ε↓C
␈β⊂d␈↓ 	>␈ε~␈
␈β⊂g␈↓ ∧↔␈εβ1␈↓ ∧U␈εβ0␈↓ ¬∪␈εβ0
␈β⊂i␈↓ βD␈ε	⊗
␈β⊂l␈↓ π>␈ε↓B␈↓ λ∀␈ε~␈␈↓ λ.␈ε↓C
␈β⊂m␈↓ ∧π␈ε↔␈
␈β⊂v␈↓ βW␈ε
l
␈β⊂w␈↓ λn␈ε↓B␈↓ 	X␈ε↓C
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l
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␈β⊃α␈↓ πk␈ε∧(␈↓ π⎇␈ε∧)
␈β⊃∧␈↓ πt␈ε
l
␈β⊃¬␈↓ 	α␈εβ∂
␈β⊃␈↓ λn␈ε↓B␈↓ 	X␈ε↓C
␈β⊃
␈↓ πU␈εβ∂
␈β⊃⊃␈↓ πV␈ε	u␈↓ 	ε␈ε	f
␈β⊃↔␈↓ β)␈ε↓B␈↓ π&␈ε↓C␈↓ π>␈ε↓B␈↓ λ.␈ε↓C
␈β⊃≥␈↓ βQ␈εβ1␈↓ ∧]␈εβ1
␈β⊃∨␈↓ ∧
␈ε	∃␈↓ λ∩␈ε∧+1␈↓ 	<␈ε∧+1
␈β⊃!␈↓ πk␈ε
N␈↓ 	∃␈ε
N
␈β⊃"␈↓ λn␈ε↓B␈↓ 	X␈ε↓C
␈β⊃#␈↓ βA␈ε↔␈␈↓ ∧M␈ε↔␈
␈β⊃,␈↓ ∧≤␈ε
l
␈β⊃-␈↓ β)␈ε↓B␈↓ π&␈ε↓C␈↓ π>␈ε↓B␈↓ λε␈ε~␈␈↓ λ.␈ε↓C␈↓ 	0␈ε~␈
␈β⊃7␈↓ λn␈ε↓B␈↓ 	X␈ε↓C
␈β⊃A␈↓ π}␈εβ.␈↓ 	+␈εβ.
␈β⊃B␈↓ β)␈ε↓B␈↓ π&␈ε↓C␈↓ π>␈ε↓B␈↓ λ.␈ε↓C
␈β⊃M␈↓ λn␈ε↓B␈↓ 	X␈ε↓C
␈β⊃P␈↓ π}␈εβ.␈↓ 	+␈εβ.
␈β⊃Q␈↓ λP␈εβ=␈↓ 	p␈εβ.
␈β⊃X␈↓ β)␈ε↓B␈↓ π&␈ε↓C␈↓ π>␈ε↓B␈↓ λ.␈ε↓C
␈β⊃Y␈↓ ∧∩␈ε↔↓␈↓ ∧X␈ε↔↓␈↓ ¬⊗␈ε↔↓
␈β⊃↑␈↓ π}␈εβ.␈↓ 	+␈εβ.
␈β⊃c␈↓ λn␈ε↓B␈↓ 	X␈ε↓C
␈β⊃m␈↓ β)␈ε↓B␈↓ π&␈ε↓C␈↓ π>␈ε↓B␈↓ λ.␈ε↓C
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␈β⊃␈␈↓ 	∃␈ε∧(␈↓ 	'␈ε∧)
␈β∩↓␈↓ 	≡␈ε
l
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␈β∩π␈↓ πk␈ε∧(␈↓ π⎇␈ε∧)
␈β∩	␈↓ ελ␈εβ1␈↓ π∀␈εβ1␈↓ πt␈ε
l
␈β∩
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␈β∩∂␈↓ ∧X␈ε↔↓␈↓ ¬⊗␈ε↔↓␈↓ ¬I␈ε↔↓␈↓ ¬x␈ε↔␈␈↓ π∧␈ε↔␈
␈β∩∩␈↓ πU␈εβ∂
␈β∩⊗␈↓ πV␈ε	u␈↓ 	ε␈ε	f
␈β∩_␈↓ εS␈ε
l
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␈β∩#␈↓ λn␈ε↓B␈↓ 	X␈ε↓C
␈β∩$␈↓ λ∨␈ε∧1␈↓ 	I␈ε∧1
␈β∩&␈↓ πk␈ε
N␈↓ 	∃␈ε
N
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␈β∩.␈↓ π>␈ε↓@␈↓ λε␈εε+␈↓ λ.␈ε↓A␈↓ 	0␈εε+
␈β∩9␈↓ λn␈ε↓@␈↓ 	X␈ε↓A
␈β∩?␈↓ εN␈εβ1
␈β∩A␈↓ π∧␈ε	⊗
␈β∩E␈↓ ¬⊗␈ε↔↓␈↓ ¬I␈ε↔↓␈↓ εβ␈ε↔↓␈↓ ε>␈ε↔␈
␈β∩J␈↓ πy␈ε∧(␈↓ λ␈ε∧)␈↓ 	#␈ε∧(␈↓ 	5␈ε∧)
␈β∩L␈↓ π↔␈ε∧1␈↓ λα␈ε
l␈↓ 	,␈ε
l
␈β∩U␈↓ πc␈εβ∂␈↓ 	⊂␈εβ∂
␈β∩Y␈↓ πd␈ε	u
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␈β∩i␈↓ πy␈ε
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N
␈β∩y␈↓ 	>␈εε+
␈β∪B␈↓ ↓H␈εβThis␈α
system␈αcan␈α
be␈αsolved␈αvery␈α
easily␈αby␈α
an␈↓ π3␈εβ-decomposition␈α
because,␈αas␈αis␈αeasily
␈β∪D␈↓ ε}␈ε	LU
␈β⊗α

␈β↓Y␈↓ "␈εα963
␈βα"␈↓ ↓H␈εβveri|ed
␈βαP␈↓ ∧d␈ε↓0␈↓ λ$␈ε↓1
␈βα|␈↓ ¬F␈εβ1
␈βα}␈↓ ∧␈␈ε	⊗
␈ββ␈↓ ¬∩␈ε
l
␈ββ⊃␈↓ ∧d␈ε↓B␈↓ λ$␈ε↓C
␈ββ'␈↓ ∧d␈ε↓B␈↓ λ$␈ε↓C
␈ββ2␈↓ ¬␈εβ1␈↓ ε⊃␈εβ1
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␈ββ<␈↓ ∧d␈ε↓B␈↓ λ$␈ε↓C
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l
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␈ββh␈↓ ∧d␈ε↓B␈↓ λ$␈ε↓C
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␈ββ⎇␈↓ ∧d␈ε↓B␈↓ λ$␈ε↓C
␈β∧∪␈↓ ∧d␈ε↓B␈↓ λ$␈ε↓C
␈β∧$␈↓ ε␈ε↔↓␈↓ εG␈ε↔↓␈↓ π↓␈ε↔↓
␈β∧(␈↓ ∧d␈ε↓B␈↓ λ$␈ε↓C
␈β∧>␈↓ ∧d␈ε↓B␈↓ λ$␈ε↓C
␈β∧T␈↓ ∧d␈ε↓B␈↓ πε␈εβ1␈↓ λ∩␈εβ1␈↓ λ$␈ε↓C
␈β∧V␈↓ π?␈ε	∃
␈β∧Z␈↓ εv␈ε↔␈␈↓ λα␈ε↔␈
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l
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␈β¬→␈↓ λ_␈ε
l
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␈β¬a␈↓ πc␈ε↔␈
␈β¬j␈↓ π6␈ε
l
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G␈ε↓C
␈βε
␈↓ β ␈ε∧1
␈βε␈↓ αX␈ε↓B␈↓ εs␈ε↓C␈↓ π␈ε↓B␈↓ 
G␈ε↓C
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␈βε⊃␈↓ βi␈εβ1␈↓ λ9␈εβ1
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␈βε↔␈↓ αp␈ε↔␈␈↓ λ)␈ε↔␈
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l
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G␈ε↓C
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l
␈βε6␈↓ αX␈ε↓B␈↓ εs␈ε↓C␈↓ π␈ε↓B␈↓ 
G␈ε↓C
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␈βεE␈↓ βv␈ε_␈
␈βεG␈↓ ∧6␈εβ1␈↓ λ␈␈εβ1
␈βεI␈↓ βc␈ε	⊗␈↓ λ,␈ε	⊗
␈βεL␈↓ αX␈ε↓B␈↓ εs␈ε↓C␈↓ π␈ε↓B␈↓ 
G␈ε↓C
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␈βεV␈↓ λ?␈ε
l
␈βεY␈↓ βv␈ε
l
␈βεb␈↓ αX␈ε↓B␈↓ εs␈ε↓C␈↓ π␈ε↓B␈↓ 
G␈ε↓C
␈βεw␈↓ αX␈ε↓B␈↓ εs␈ε↓C␈↓ π␈ε↓B␈↓ 
G␈ε↓C
␈βε{␈↓ α:␈εβ=␈↓ 
←␈εβ.
␈βπβ␈↓ ∧9␈ε↔↓␈↓ ∧l␈ε↔↓␈↓ λz␈ε↔↓␈↓ 	5␈ε↔↓
␈βπ
␈↓ αX␈ε↓B␈↓ εs␈ε↓C␈↓ π␈ε↓B␈↓ 
G␈ε↓C
␈βπ"␈↓ αX␈ε↓B␈↓ εs␈ε↓C␈↓ π␈ε↓B␈↓ 
G␈ε↓C
␈βπ8␈↓ αX␈ε↓B␈↓ εs␈ε↓C␈↓ π␈ε↓B␈↓ 
G␈ε↓C
␈βπ9␈↓ ∧l␈ε↔↓␈↓ ¬5␈ε↔↓␈↓ 	5␈ε↔↓␈↓ 	l␈ε↔↓
␈βπN␈↓ αX␈ε↓B␈↓ εs␈ε↓C␈↓ π␈ε↓B␈↓ 
G␈ε↓C
␈βπb␈↓ ¬K␈ε∧1
␈βπc␈↓ αX␈ε↓B␈↓ εs␈ε↓C␈↓ π␈ε↓B␈↓ 
G␈ε↓C
␈βπg␈↓ ¬>␈ε_␈
␈βπi␈↓ ε∀␈εβ1␈↓ 
4␈εβ1
␈βπk␈↓ ¬+␈ε	⊗␈↓ 	d␈ε	⊗
␈βπo␈↓ ¬≠␈ε↔␈␈↓ 
$␈ε↔␈
␈βπx␈↓ 	w␈ε
l
␈βπy␈↓ αX␈ε↓@␈↓ εs␈ε↓A␈↓ π␈ε↓@␈↓ 
G␈ε↓A
␈βπ{␈↓ ¬>␈ε
l
␈βλ_␈↓ ε.␈ε∧1
␈βλ≥␈↓ ε!␈ε_␈
␈βλ∨␈↓ εa␈εβ1
␈βλ!␈↓ ε∞␈ε	⊗␈↓ 
$␈ε	≠
␈βλ%␈↓ ¬}␈ε↔␈
␈βλ.␈↓ 
>␈ε
l
␈βλ1␈↓ ε!␈ε
l
␈βλ⎇␈↓ ↓H␈ε≥Sample␈α
20␈α␈.
␈β	8␈↓ α"␈εβIn␈α∞order␈α∞to␈α∞determine␈α∞the␈α∞behavior␈α∞of␈α∞the␈α∞Ben-Israel␈α∞iteration,␈α∂we␈α∞consider
␈β	c␈↓ ↓H␈εβits␈α
application␈α
to␈α
the␈α
following␈α
linear␈α
least␈α
squares␈α
problem:␈↓ 	⊂␈εβmin␈↓ 
c␈εβ,␈α
where
␈β	e␈↓ 	u␈ε	Ax␈↓ 
A␈ε	b
␈β	i␈↓ 	b␈ε↔k␈↓ 
)␈ε↔␈␈↓ 
P␈ε↔k
␈β	p␈↓ 	M␈ε
x
␈β
!␈↓ ε0␈ε↓0␈↓ π⊃␈ε↓1
␈β
G␈↓ ε␈␈εβ0
␈β
b␈↓ ε0␈ε↓B␈↓ π⊃␈ε↓C
␈β
w␈↓ ε0␈ε↓B␈↓ π⊃␈ε↓C
␈β
⎇␈↓ ε␈␈εβ0
␈β
␈␈↓ εH␈ε	a
␈β
␈↓ ε0␈ε↓B␈↓ π⊃␈ε↓C
␈β"␈↓ ε0␈ε↓B␈↓ π⊃␈ε↓C
␈β1␈↓ ε∩␈εβ=␈↓ π)␈εβ,
␈β3␈↓ ¬o␈ε	A␈↓ εI␈εβ0␈↓ ε␈␈εβ0
␈β8␈↓ ε0␈ε↓B␈↓ π⊃␈ε↓C
␈βN␈↓ ε0␈ε↓B␈↓ π⊃␈ε↓C
␈βc␈↓ ε0␈ε↓B␈↓ π⊃␈ε↓C
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